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素数分布规律及孪生素数无限的证明

作者：Gene Kong

摘要：本文从埃拉托斯特尼筛法出发，提出了一种基于模数结构的素数分布周期模型。通过构造2、3、5等素数筛后的剩余数集，揭示了“筛剩余数”的周期性分布特征，并论证了此类特性在后续筛法中总是存在。 进一步地，结合反证法分析了孪生素数无限性的可能性，指出候选孪生素数特性不可消除为孪生素数的无限存在提供了理论支持。

关键词：素数分布；孪生素数猜想；筛法；模数结构；特性保持；筛剩余数；候选孪生素数

1. 引言

孪生素数猜想（即是否存在无穷多对形如 $(p, p+2)$ 的素数）是数论中的核心未解问题之一。张益唐（2013）[@zhang2014bounded]通过创新性的GPY筛法证明了存在无穷多对素数差小于7000万的素数对，这一成果被认为是21世纪数论领域的重大突破。

随后，Castryck 等人（2014）[@castryck2014new] 的贡献聚焦于计算数论与筛法理论的交叉领域。他们提出了一种基于代数数论和计算优化的新型筛法策略，通过局部环论（local rings）和模形式（modular forms）重新解析筛剩余数的分布特性。

在此基础之上，Maynard（2015）[@maynard2015small]独立开发了一种改进的多维度筛法框架，通过优化权重函数将素数对间隔大幅缩减至600。随后，Polymath项目整合了Maynard与Castryck等人的方法，进一步将间隔优化至246。这些研究展示了筛法在素数分布研究中的强大潜力。

筛法作为研究素数分布的重要工具，其优化和扩展一直是数论研究的热点。例如，埃拉托斯特尼筛法（Eratosthenes sieve）是最经典的素数筛选方法，其通过逐步筛除合数来构造素数集合。近年来，结合模数结构的筛法优化方法得到了广泛关注，这些方法不仅提高了算法效率，还为理解素数分布规律提供了新的视角。

筛剩余数的研究在筛法优化中具有重要意义。筛剩余数是指在筛选过程中未被筛除的数，其分布特性直接影响筛法的性能和适用范围。理解筛剩余数的周期性和分布规律，不仅有助于设计更高效的算法，还为探索孪生素数等问题提供了理论支持。

本文从埃拉托斯特尼筛法的扩展视角出发，提出了一种基于模数结构的素数分布模型。通过分析筛剩余数的周期性分布特性，本文尝试论证候选孪生素数特性保持的规律，并进一步探讨孪生素数无限性的可能性。本文的研究不仅为孪生素数猜想提供了新的理论支持，还为筛法的优化设计提供了新的思路。

2. 定义与符号约定

定义2.1（筛剩余数）：对于给定素数序列 $p_1, p_2, \ldots, p_k$ ，称未被该序列筛除的自然数为筛剩余数，其集合记为 $\mathcal{S}(p_1, p_2, \ldots, p_k)$ 。
定义2.2（候选孪生素数）：若筛剩余数集合中存在相邻元素 $(q, q+2)$ ，则称其为候选孪生素数。

注：筛剩余数可能为真实素数或未被筛除的合数，但其分布遵循筛法的周期性规律。

3. 分析素数筛法的规律

3.1 初始筛阶段

• 素数2：筛除所有偶数后，剩余筛剩余数为奇数集 ${2m+1 \mid m \in \mathbb{Z}}$（详见附录图1）。
• 素数3：进一步筛除3的倍数，剩余筛剩余数为 ${6m \pm 1 \mid m \in \mathbb{Z}}$（详见附录图2），此时候选孪生素数间隔为2的概率为 $\frac{1}{6}$ 。

3.2 高级筛选阶段

引入素数 $p_k$ 后，筛剩余数 集可表为：

$$ \mathcal{S}(2,3,\ldots,p_k) = \bigcup_{i} \begin{Bmatrix} \left( \prod_{j=1}^k p_j \cdot m \pm a_i \right) \mid m \in \mathbb{Z} \end{Bmatrix}, $$

其中 $a_i$ 为与 $\prod_{j=1}^k p_j$ 互质的偏移量。例如，引入素数5后，筛剩余数集为 ${30m \pm 1, \pm 7, \pm 11, \pm 13}$ （详见附录图2）。

考虑到筛剩余数集合在素数 $p_k$ 之后的循环周期为： $\prod_{j=1}^{k} p_j$ ， $p_1 \ldots p_j$ 为从2到第 $k$ 个 素数连续序列， 每引入一个素数后，总是在新的周期内考虑筛剩余数可能集合。

定理3.1（候选孪生素数特性保持）：对于任意素数序列 $p_1, p_2, \ldots, p_k$ ，其筛法生成的筛剩余数分布特性在引入新素数 $p_{k+1}$ ( $p_{k+1}$ > 3 ) 时，满足：

• ±1候选对保留：形如 $\prod_{j=1}^k p_j \cdot m \pm 1$ 的候选孪生素数对，除非 $\prod_{j=1}^k p_j \cdot m \equiv \pm 1 \pmod{p_{k+1}}$（具体值依模运算而定）。下一个 $\prod_{j=1}^{k+1} p_j \cdot m \pm 1$ 必然保留；
• 周期内保留比例： $\frac{p_{k+1}-2}{p_{k+1}}$ 的增量候选孪生素数对不受新素数影响；
• 周期内增量数量： 每引入新的素数 $p_{k+1}$ 后，在周期 $\prod_{j=1}^{k+1} p_j$ 的范围内， 有 $p_{k+1}-2$ 对增量候选孪生素数对得以保留。

证明：考虑候选孪生素数对 $\prod_{j=1}^k p_j \cdot m \pm 1$ ，由于 $p_{k+1}$ 与 $\prod_{j=1}^k p_j$ 互质，根据模运算性质：

$$ \prod_{j=1}^k p_j \cdot m \pm 1 \not\equiv 0 \pmod{p_{k+1}} \quad \text{除非} \quad m \equiv \pm \left( \prod_{j=1}^k p_j \right)^{-1} \pmod{p_{k+1}}. $$

因此，仅当 $m$ 满足上述同余条件时，候选素数对被筛除，其余 $\frac{p_{k+1}-2}{p_{k+1}}$ 比例的候选素数对必然保留，对应在 $\prod_{j=1}^{k+1} p_j$ 这个周期内，必然保留 $p_{k+1} -2$ 对增量候选素数对。

4. 孪生素数无限性的反证法分析

假设存在最大孪生素数对 $(P, P+2)$ ，则对于所有 $n > P$ ，筛剩余数集 $\mathcal{S}(2,3,\ldots,p_k)$ 中必不存在未被真实素数覆盖的候选孪生素数对 $(q, q+2)$ 。 由定理3.1，特性保持确保此类候选对在任意筛阶段均以正比例存在且在后续的 $\prod_{j=1}^{k} p_j$ 周期内实际个数不小于 $p_k - 2$，与“假设有最大孪生素数”假设矛盾。

结论4.1：在计算筛剩余数特性集合所呈现的周期 $\prod_{j=1}^{k} p_j$ 内，候选孪生素数对的增量保留总是不小于 $p_k - 2$，故孪生素数无限。

5. 讨论与展望

扩展方向：可研究广义间隔（如间隔6, 12等）的素数对无限性，或结合其它模型探讨候选孪生素数特性保持的其它规律。

6. 结论

通过构造素数筛法的周期性特性模型，本文论证了候选孪生素数的持续存在性，并基于反证法推测孪生素数无限。

附录

附图中，粽色为已经筛选的素数，方框内为算法计算特性集合周期，深绿色为筛剩余数中的合数。

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图1：筛除2的倍数后的筛剩余数分布

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图2：筛除2、3后的筛剩余数分布

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图3：筛除2、3、5后的筛剩余数分布

更多的组合请使用本文档提供的工具分析研究。

代码可用性声明

本研究的文档原文以及实验工具及实验数据已托管至GitHub仓库：

• Repository: https://github.com/GeneKong/primes
• Version: v1.0.0 (发布日期: 2025年3月)
• DOI: 10.5281/zenodo.15071343

参考文献